Упр.273 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
- Сумма гипотенузы $$CE$$ и катета $$CD$$ прямоугольного треугольника $$CDE$$ равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины $$C$$ до прямой $$DE$$.
Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Докажем это.
Пусть $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ — прямоугольные, причём $$\angle C=\angle C_1=90^\circ$$, $$AC=A_1C_1$$ и $$\angle B=\angle B_1$$.
Тогда в прямоугольных треугольниках
$$\angle A=90^\circ-\angle B,$$
$$\angle A_1=90^\circ-\angle B_1.$$
Так как $$\angle B=\angle B_1$$, то $$\angle A=\angle A_1$$.
Следовательно, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны:
- $$AC=A_1C_1$$;
- $$\angle A=\angle A_1$$;
- $$\angle C=\angle C_1$$.
Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Это и требовалось доказать.
Ответ
Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть $$CD=x$$, тогда $$CE=x+3$$. По условию:
$$x+(x+3)=31.$$
Отсюда
$$2x=28,$$
$$x=14.$$
Значит, $$CD=14\text{ см}$$.
Так как $$\triangle CDE$$ прямоугольный и $$CD\perp DE$$, то расстояние от вершины $$C$$ до прямой $$DE$$ равно перпендикуляру $$CD$$.
Ответ: $$14\text{ см}$$.
