Упр.272 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.
- В равностороннем треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$AD$$. Расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ равно 6 см. Найдите расстояние от вершины $$A$$ до прямой $$BC$$.
Пусть в остроугольных треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ сторона $$BC=B_1C_1,$$ а высоты, проведённые из её концов, равны соответственно $$BH=B_1D$$ и $$CH=C_1E$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BHC$$ и $$B_1DC_1$$. У них
$$BC=B_1C_1,$$
$$BH=B_1D.$$
Следовательно, $$\triangle BHC \cong \triangle B_1DC_1$$ по гипотенузе и катету. Тогда
$$\angle C=\angle C_1.$$
Аналогично рассмотрим прямоугольные треугольники $$FBC$$ и $$E_1B_1C_1$$, где $$F$$ и $$E_1$$ — основания высот из вершин $$C$$ и $$C_1$$. Имеем
$$FC=E_1C_1,$$
$$BC=B_1C_1.$$
Значит, $$\triangle FBC \cong \triangle E_1B_1C_1$$ по гипотенузе и катету, откуда
$$\angle B=\angle B_1.$$
Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны сторона $$BC=B_1C_1$$ и прилежащие к ней углы:
$$\angle B=\angle B_1,\qquad \angle C=\angle C_1.$$
Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам, что и требовалось доказать.
