Упр.271 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На сторонах угла $$О$$ отмечены точки $$А$$ и $$В$$ так, что $$ОА = ОВ$$. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке $$С$$. Докажите, что луч $$ОС$$ — биссектриса угла $$О$$.
2. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна $$17\text{ см}$$, а разность длин равна $$1\text{ см}$$. Найдите расстояние от точки до прямой.

Рассмотрим треугольники $$\triangle OAC$$ и $$\triangle OBC$$.

Так как по условию $$OA=OB$$, а $$OC$$ — общая сторона, кроме того, $$AC\perp OA$$ и $$BC\perp OB$$, то треугольники $$OAC$$ и $$OBC$$ прямоугольные.

В этих треугольниках:

• гипотенузы равны: $$OA=OB$$;
• катет $$OC$$ — общий.

Следовательно, $$\triangle OAC \cong \triangle OBC$$ по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников получаем равенство углов:

$$\angle AOC=\angle COB.$$

Значит, луч $$OC$$ делит угол $$AOB$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$O$$.