Упр.270 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведены биссектриса $$AF$$ и высота $$AH$$. Найдите углы треугольника $$AHF$$, если $$\angle B=112^\circ$$.
- Внутри угла дана точка $$A$$. Постройте прямую, проходящую через точку $$A$$ и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.
Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle A=\angle C$$.
Найдём их:
$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-\angle B}{2} =\frac{180^\circ-112^\circ}{2} =\frac{68^\circ}{2} =34^\circ.$$
Поскольку $$AF$$ — биссектриса угла $$A$$, получаем:
$$\angle BAF=\angle FAC=\frac{34^\circ}{2}=17^\circ.$$
Точка $$H$$ лежит на высоте $$AH$$, значит $$AH\perp BC$$. Так как $$F\in BC$$, то $$HF\subset BC$$ и поэтому
$$\angle AFH=90^\circ-\angle FAC=90^\circ-17^\circ=73^\circ.$$
Теперь найдём угол $$\angle AHF$$ в треугольнике $$AHF$$:
$$\angle AHF=180^\circ-\angle HAF-\angle AFH.$$
При этом $$\angle HAF=90^\circ-\angle BAF=90^\circ-17^\circ=73^\circ$$, значит
$$\angle AHF=180^\circ-73^\circ-73^\circ=34^\circ.$$
Следовательно, углы треугольника $$AHF$$ равны:
$$\angle HAF=73^\circ,\quad \angle AFH=73^\circ,\quad \angle AHF=34^\circ.$$
Ответ
$$\angle HAF=73^\circ,\ \angle AFH=73^\circ,\ \angle AHF=34^\circ.$$
