Упр.269 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Высоты АА1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол AMB, если угол A=55°, угол B = 67°. Докажите, что треугольник АВС = треугольнику А1В1С1, если угол A = угол A1, угол B = угол B1 и ВН = B1H1, где ВН и В1Н1 — высоты треугольник АВС и треугольник A1B1С1.

1) Так как $$AA_1 \perp BC$$, то в треугольнике $$ABB_1$$ угол при $$A_1$$ прямой, а значит

$$\angle ABB_1=90^\circ-\angle A=90^\circ-55^\circ=35^\circ.$$

2) Так как $$BB_1 \perp AC$$, то в треугольнике $$BAA_1$$ угол при $$B_1$$ прямой, поэтому

$$\angle BAA_1=90^\circ-\angle B=90^\circ-67^\circ=23^\circ.$$

3) Рассмотрим треугольник $$AMB$$. Тогда

$$\angle AMB=180^\circ-\angle ABB_1-\angle BAA_1.$$

Подставим найденные значения:

$$\angle AMB=180^\circ-35^\circ-23^\circ=122^\circ.$$

4) Докажем, что $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$A_1B_1H_1$$, где $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты. По условию

$$\angle A=\angle A_1,\qquad BH=B_1H_1.$$

В прямоугольных треугольниках $$ABH$$ и $$A_1B_1H_1$$ равны по одному катету и прилежащему острому углу, значит

$$\triangle ABH \cong \triangle A_1B_1H_1,$$

откуда

$$AB=A_1B_1.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем:

$$AB=A_1B_1,\qquad \angle A=\angle A_1,\qquad \angle B=\angle B_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по стороне и двум прилежащим углам.

Ответ

$$\angle AMB=122^\circ,$$ $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$