Упр.268 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высоты, проведённые к боковым сторонам $$AB$$ и $$AC$$ остроугольного равнобедренного треугольника $$ABC$$, пересекаются в точке $$M$$. Найдите углы треугольника, если $$\angle BMC=140^\circ$$.
2. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Обозначим углы равнобедренного треугольника $$ABC$$ так: $$\angle B=\angle C=x$$, тогда $$\angle A=180^\circ-2x$$.

Пусть $$BD$$ и $$CF$$ — высоты, пересекающиеся в точке $$M$$. Тогда $$BD\perp AC$$ и $$CF\perp AB$$.

Угол между прямыми, перпендикулярными к $$AB$$ и $$AC$$, равен углу между самими прямыми, значит

$$\angle BMC=180^\circ-\angle A.$$

По условию $$\angle BMC=140^\circ$$, следовательно

$$180^\circ-\angle A=140^\circ,$$

откуда

$$\angle A=40^\circ.$$

Тогда

$$\angle B+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ.$$

Так как $$\angle B=\angle C$$, получаем

$$\angle B=\angle C=\frac{140^\circ}{2}=70^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=40^\circ,\ \angle B=\angle C=70^\circ.$$