Упр.266 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.
2. На сторонах угла O отмечены точки A и B так, что $$OA=OB$$. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке C. Докажите, что луч $$OC$$ — биссектриса угла O.

Рассмотрим треугольники, в которых проведены высоты из вершин основания. Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ выполнено $$AB=BC$$, а из вершин $$A$$ и $$C$$ к противоположным сторонам проведены высоты $$AD$$ и $$CF$$.

Тогда $$\angle A=\angle C$$ как углы при основании равнобедренного треугольника.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle AFC$$:

$$\angle ADC=\angle AFC=90^\circ,$$

$$AC$$ — общая гипотенуза,

$$\angle A=\angle C.$$

Следовательно, $$\triangle ADC \cong \triangle AFC$$ по гипотенузе и острому углу. Значит, соответствующие катеты равны:

$$CD=AF.$$

Итак, высоты, проведённые из вершин основания равнобедренного треугольника, равны.

Ответ: $$CD=AF$$.