Упр.266 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны. На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, у которого $$AB=BC$$. Тогда углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C.$$

Пусть $$AD$$ и $$CF$$ — высоты, проведённые из вершин основания $$A$$ и $$C$$ соответственно, то есть

$$AD\perp BC,\qquad CF\perp AB.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle AFC$$.

У них:

• $$AC$$ — общая гипотенуза;
• $$\angle ACD=\angle CAF$$, так как $$\angle A=\angle C$$ и стороны $$CD$$ и $$AF$$ перпендикулярны соответственно $$AB$$ и $$BC$$.

Следовательно, $$\triangle ADC \cong \triangle AFC$$ по гипотенузе и острому углу. Значит, соответствующие катеты равны:

$$CD=AF.$$

Итак, высоты, проведённые из вершин основания равнобедренного треугольника, равны.

2) Пусть на сторонах угла $$O$$ отмечены точки $$A$$ и $$B$$ так, что $$OA=OB$$. Через них проведены прямые, перпендикулярные сторонам угла, и они пересекаются в точке $$C$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle OAC$$ и $$\triangle OBC$$.

У них:

• $$OC$$ — общая гипотенуза;
• $$OA=OB$$ по условию;
• $$\angle OAC=\angle OBC=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle OAC \cong \triangle OBC$$ по гипотенузе и катету. Тогда

$$\angle AOC=\angle COB.$$

Значит, луч $$OC$$ делит угол $$O$$ пополам, то есть является биссектрисой.

Ответ

$$CD=AF$$; луч $$OC$$ — биссектриса угла $$O$$.