Упр.262 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ внешний угол при вершине $$A$$ равен $$120^\circ$$, $$AC + AB = 18\text{ см}$$. Найдите $$AC$$ и $$AB$$.
В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ углы $$A$$ и $$A_1$$ — прямые, $$BD$$ и $$B_1D_1$$ — биссектрисы. Докажите, что $$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$, если $$\angle B = \angle B_1$$ и $$BD = B_1D_1$$.

Подробный ответ

Так как внешний угол при вершине $$A$$ равен $$120^\circ$$, то внутренний угол треугольника при вершине $$A$$ равен

$$\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ сумма острых углов равна $$90^\circ$$, значит

$$\angle B=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы. Следовательно,

$$AC=\frac{AB}{2}.$$

По условию

$$AC+AB=18.$$

Подставим $$AC=\frac{AB}{2}$$:

$$\frac{AB}{2}+AB=18,$$

$$\frac{3}{2}AB=18,$$