Упр.250 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и CC1 треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN = ВМ + CN. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 10 см и 5 см.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения биссектрис $$BB_1$$ и $$CC_1$$ через $$O$$. Тогда через точку $$O$$ проведена прямая $$MN$$, причём $$MN \parallel BC$$, $$M \in AB$$, $$N \in AC$$.

Рассмотрим треугольник $$CNO$$. Так как $$MN \parallel BC$$, то

$$\angle NOC = \angle OCB$$

(накрест лежащие углы). Кроме того, $$CC_1$$ — биссектриса угла $$C$$, значит

$$\angle NCO = \angle OCB.$$

Следовательно, $$\angle NCO = \angle NOC$$, значит, треугольник $$CNO$$ равнобедренный. Поэтому

$$CN = NO.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$MOB$$. Так как $$MN \parallel BC$$, то

$$\angle MOB = \angle OBC.$$

Поскольку $$BB_1$$ — биссектриса угла $$B$$, имеем

$$\angle MBO = \angle OBC.$$

Значит, $$\angle MOB = \angle MBO$$, следовательно, треугольник $$MOB$$ равнобедренный. Тогда

$$OM = MB.$$

Так как точки $$N, O, M$$ лежат на одной прямой, то

$$MN = NO + OM.$$

С учётом найденных равенств получаем:

$$MN = CN + BM.$$

Что и требовалось доказать.

Теперь найдём третью сторону равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике две стороны равны, значит третья сторона должна совпадать с одной из данных.

а) $$7$$ см и $$3$$ см. Проверяем возможные случаи:

если третья сторона $$c=7$$, то $$7<7+3$$ и неравенства треугольника выполняются;

если $$c=3$$, то $$7<3+3$$ неверно.

Значит, $$c=7$$ см.

б) $$8$$ см и $$2$$ см. Аналогично:

если $$c=8$$, то неравенства треугольника выполняются;

если $$c=2$$, то $$8<2+2$$ неверно.

Значит, $$c=8$$ см.

в) $$10$$ см и $$5$$ см. Тогда:

если $$c=10$$, то неравенства треугольника выполняются;

если $$c=5$$, то $$10<5+5$$ неверно.

Значит, $$c=10$$ см.