Упр.246 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника $$ABC$$, пересекает боковые стороны $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что треугольник $$AMN$$ равнобедренный.
2. На рисунке 129 лучи $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$, $$OE \parallel AB$$, $$OD \parallel AC$$. Докажите, что периметр треугольника $$EDO$$ равен длине отрезка $$BC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$BO$$ — биссектриса угла $$B$$, а $$OE \parallel AB$$, то

$$\angle ABO=\angle BOE$$

как накрест лежащие. Кроме того,

$$\angle ABO=\angle OBE$$

поскольку $$BO$$ — биссектриса. Значит,

$$\angle BOE=\angle OBE,$$

следовательно, $$\triangle BOE$$ равнобедренный, и потому

$$BE=EO.$$

Аналогично, так как $$CO$$ — биссектриса угла $$C$$, а $$OD \parallel AC$$, имеем

$$\angle DOC=\angle OCA$$

как накрест лежащие, и

$$\angle OCA=\angle DCO$$

поскольку $$CO$$ — биссектриса. Тогда

$$\angle DOC=\angle DCO,$$

следовательно, $$\triangle DOC$$ равнобедренный, значит

$$OD=DC.$$

Теперь найдём периметр треугольника $$EDO$$:

$$P_{EDO}=EO+ED+OD.$$

С другой стороны, точка $$E$$ лежит на отрезке $$BC$$, а точка $$D$$ — между $$E$$ и $$C$$, поэтому

$$BC=BE+ED+DC.$$

Подставляя $$BE=EO$$ и $$DC=OD$$, получаем

$$BC=EO+ED+OD=P_{EDO}.$$

Значит, $$P_{EDO}=BC$$, что и требовалось доказать.