Упр.245 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС — равнобедренный. Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и CC1 треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN = ВМ + CN.

1) Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как он равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$AB=BC$$, а значит, $$\angle A=\angle C$$.

Поскольку $$AO$$ и $$CO$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$, имеем:

$$\angle BAO=\angle OAC,$$

$$\angle BCO=\angle OCA.$$

Но $$\angle BAO=\angle BCO$$, так как $$\angle A=\angle C$$. Следовательно, $$\angle OAC=\angle OCA$$.

Значит, треугольник $$AOC$$ равнобедренный, то есть

$$AO=OC.$$

2) Пусть прямая $$MN$$ проходит через точку $$O$$ и параллельна $$BC$$, причём $$M\in AB$$, $$N\in AC$$.

Рассмотрим треугольник $$NOC$$. Так как $$MN\parallel BC$$, то

$$\angle NOC=\angle OCB$$

как накрест лежащие. Кроме того, $$CO$$ — биссектриса угла $$C$$, значит

$$\angle NCO=\angle OCB.$$

Следовательно, $$\angle NOC=\angle NCO$$, поэтому треугольник $$NOC$$ равнобедренный и

$$NO=CN.$$

Аналогично рассмотрим треугольник $$MOB$$. Так как $$MN\parallel BC$$, то

$$\angle MOB=\angle OBC.$$

Поскольку $$BO$$ — биссектриса угла $$B$$, имеем

$$\angle MBO=\angle OBC.$$

Значит, $$\angle MOB=\angle MBO$$, следовательно, треугольник $$MOB$$ равнобедренный и

$$OM=BM.$$

Так как точки $$N, O, M$$ лежат на одной прямой, то

$$MN=NO+OM.$$

Подставляя найденные равенства, получаем:

$$MN=CN+BM.$$

Ответ

$$MN=BM+CN.$$