Упр.245 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что треугольник $$AOC$$ — равнобедренный.
2. Через точку пересечения биссектрис $$BB_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая, параллельная прямой $$BC$$ и пересекающая стороны $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что $$MN = BM + CN$$.

Рассмотрим точку $$O$$ — точку пересечения биссектрис углов $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$. Через точку $$O$$ проведена прямая $$MN$$, параллельная $$BC$$, где $$M \in AB$$, $$N \in AC$$.

Докажем, что $$MN=BM+CN$$.

Так как $$MN \parallel BC$$, то

$$\angle NOC=\angle OCB$$

как накрест лежащие при секущей $$OC$$.

Поскольку $$CC_1$$ — биссектриса угла $$C$$, то

$$\angle NCO=\angle OCB.$$

Следовательно,

$$\angle NCO=\angle NOC,$$

значит, треугольник $$CNO$$ равнобедренный, и потому

$$CN=NO.$$

Аналогично, из параллельности $$MN \parallel BC$$ получаем

$$\angle MOB=\angle OBC$$

как накрест лежащие при секущей $$BO$$.

Так как $$BB_1$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle MBO=\angle OBC.$$

Значит,

$$\angle MOB=\angle MBO,$$

следовательно, треугольник $$OMB$$ равнобедренный, и потому

$$OM=MB.$$

Тогда

$$MN=MO+ON=MB+CN,$$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$MN=BM+CN.$$