Упр.244 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.
2. Отрезок $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Через точку $$D$$ проведена прямая, параллельная $$AC$$ и пересекающая сторону $$AB$$ в точке $$E$$. Докажите, что треугольник $$ADE$$ — равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Пусть $$BK$$ — высота, а $$BD$$ — медиана, проведённые из одной и той же вершины $$B$$ к стороне $$AC$$.

Так как $$BK \perp AC$$, то треугольник $$BKC$$ прямоугольный. Точка $$D$$ — середина стороны $$AC$$, значит $$AD=DC$$.

В прямоугольном треугольнике отрезок, проведённый из вершины прямого угла к середине гипотенузы, равен половине гипотенузы. Следовательно,

$$BD=\frac{AC}{2}.$$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике $$BKC$$ гипотенуза больше любого катета, значит

$$BC>BK.$$

Но точка $$D$$ лежит на стороне $$AC$$, поэтому $$BD$$ не меньше перпендикуляра $$BK$$, опущенного из той же вершины на прямую $$AC$$. Следовательно,

$$BD \ge BK.$$

Таким образом, медиана, проведённая из вершины треугольника, не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Ответ

$$BD \ge BK.$$