Упр.243 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
Через вершину $$C$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая, параллельная его биссектрисе $$AA_1$$ и пересекающая прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Докажите, что $$AC=AD$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Пусть $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, а через точку $$C$$ проведена прямая $$CD$$, параллельная $$AA_1$$, причём $$D \in AB$$.

Рассмотрим прямые $$AA_1$$ и $$CD$$ как параллельные, а $$AC$$ — как секущую. Тогда

$$\angle A_1AC=\angle ACD$$

как накрест лежащие.

Теперь рассмотрим прямые $$AA_1$$ и $$CD$$ как параллельные, а $$AD$$ — как секущую. Тогда

$$\angle BAA_1=\angle ADC$$

как соответственные.

Так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle BAA_1=\angle A_1AC.$$

Следовательно,

$$\angle ADC=\angle ACD.$$

Значит, треугольник $$ACD$$ равнобедренный, и его боковые стороны равны:

$$AD=AC.$$