Упр.240 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена биссектриса $$AD$$. Найдите углы этого треугольника, если $$\angle ADB=110^\circ$$.
2. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что треугольник $$AOC$$ — равнобедренный.

Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то $$\angle BAD=\angle DAC=x$$. Тогда

$$\angle A=2x.$$

Точка $$D$$ лежит на стороне $$BC$$, поэтому углы $$\angle ADB$$ и $$\angle ADC$$ смежные:

$$\angle ADC=180^\circ-110^\circ=70^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$. В нём

$$\angle DAC+\angle ADC+\angle DCA=180^\circ,$$

то есть

$$x+70^\circ+\angle C=180^\circ.$$

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle B=\angle C$$, а значит

$$\angle C=180^\circ-2x.$$

Подставим в уравнение:

$$x+70^\circ+180^\circ-2x=180^\circ,$$

$$x=70^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=2x=140^\circ,$$

$$\angle C=180^\circ-140^\circ=40^\circ,$$

$$\angle B=\angle C=40^\circ.$$

Ответ: $$\angle A=140^\circ,\ \angle B=\angle C=40^\circ.$$