Упр.236 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ равна половине стороны $$BC$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ прямоугольный.
2. Сравните углы треугольника $$ABC$$ и выясните, может ли быть угол $$A$$ тупым, если:
   а) $$AB > BC > AC$$;
   б) $$AB = AC < BC$$.

Пусть $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, причём $$AM=\frac12\,BC$$.

Тогда $$BM=MC$$, а из условия $$BM=AM$$ и $$AM=MC$$. Следовательно,

$$BM=AM=MC.$$

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$AMC$$. Они равнобедренные, значит

$$\angle BAM=\angle ABM,\qquad \angle MAC=\angle ACM.$$

Обозначим $$\angle BAM=x$$, $$\angle MAC=y$$. Тогда

$$\angle A=x+y,$$

а в треугольнике $$ABC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Но $$\angle B=\angle ABM=x$$ и $$\angle C=\angle ACM=y$$, значит

$$x+y+x+y=180^\circ,$$

откуда

$$2x+2y=180^\circ,\qquad x+y=90^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle A=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

Ответ

$$\angle A=90^\circ,$$ поэтому $$\triangle ABC$$ прямоугольный.