Упр.235 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Биссектрисы углов А и В треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол AMB, если угол A = 58°, угол B = 96°. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если угол ADB = 110°.
1) Так как $$AM$$ и $$BM$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$, то
$$\angle BAM=\frac{\angle A}{2}=\frac{58^\circ}{2}=29^\circ,$$
$$\angle ABM=\frac{\angle B}{2}=\frac{96^\circ}{2}=48^\circ.$$
В треугольнике $$AMB$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, значит
$$\angle AMB=180^\circ-(29^\circ+48^\circ)=103^\circ.$$
2) Треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, значит
$$\angle A=\angle C.$$
Пусть $$\angle BAD=\angle DAC=x$$, так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$. Тогда
$$\angle A=2x,\qquad \angle C=2x.$$
Углы $$\angle BDA$$ и $$\angle ADC$$ смежные, поэтому
$$\angle ADC=180^\circ-110^\circ=70^\circ.$$
Рассмотрим треугольник $$ADC$$:
$$\angle DAC+\angle ADC+\angle DCA=180^\circ,$$
то есть
$$x+70^\circ+2x=180^\circ,$$
$$3x=110^\circ,$$
$$x=\frac{110^\circ}{3}=36^\circ40′.$$
Тогда
$$\angle A=\angle C=2x=73^\circ20′.$$
И, наконец,
$$\angle B=180^\circ-2\cdot 73^\circ20’=33^\circ20′.$$
Ответ
$$\angle AMB=103^\circ; \quad \angle A=\angle C=73^\circ20′, \quad \angle B=33^\circ20′.$$
