Упр.233 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.
а) Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$. Тогда углы при основании равны: $$\angle A=\angle C=40^\circ$$.
По теореме о сумме углов треугольника:
$$\angle B=180^\circ-(40^\circ+40^\circ)=100^\circ.$$
б) Если $$\angle A=60^\circ$$, то $$\angle C=60^\circ$$.
Тогда
$$\angle B=180^\circ-(60^\circ+60^\circ)=60^\circ.$$
в) Если $$\angle B=100^\circ$$, то углы при основании равны:
$$\angle A=\angle C.$$
Из суммы углов треугольника:
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$
$$\angle A+\angle C=180^\circ-100^\circ=80^\circ.$$
Так как $$\angle A=\angle C$$, получаем:
$$2\angle A=80^\circ,\qquad \angle A=\angle C=40^\circ.$$
Теперь докажем, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.
Пусть $$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$AB=BC$$, а $$BD$$ — биссектриса внешнего угла $$\angle CBK$$ при вершине $$B$$, где $$BK$$ — продолжение стороны $$BA$$.
Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$\angle A=\angle C$$.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних несмежных углов, значит
$$\angle KBC=\angle A+\angle C=2\angle A.$$
Поскольку $$BD$$ — биссектриса угла $$\angle CBK$$, имеем
$$\angle KBD=\angle DBC.$$
Но $$\angle KBC=2\angle A$$, следовательно
$$\angle DBK=\angle A.$$
Углы $$\angle DBK$$ и $$\angle A$$ — соответственные при секущей $$AB$$ и прямых $$BD$$ и $$AC$$. Значит,
$$BD \parallel AC.$$
Ответ
а) $$\angle A=\angle C=40^\circ,\ \angle B=100^\circ$$; б) $$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$$; в) $$\angle A=\angle C=40^\circ,\ \angle B=100^\circ$$. Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
