Упр.232 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним. Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?

а) Пусть $$\angle B$$ — угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, а $$\angle A=\angle C$$ — углы при основании.

По условию $$\angle A=2\angle B$$. Так как треугольник равнобедренный, то $$\angle A=\angle C$$.

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит

$$ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ $$

$$ 2\angle B+\angle B+2\angle B=180^\circ $$

$$ 5\angle B=180^\circ,\qquad \angle B=36^\circ $$

Тогда

$$ \angle A=\angle C=2\cdot 36^\circ=72^\circ $$

б) Пусть $$\angle A=\angle C$$ — углы при основании, а $$\angle B$$ — угол при вершине. Внешний угол, смежный с $$\angle C$$, обозначим $$\angle BCD$$.

По условию $$\angle C$$ в три раза меньше внешнего угла, то есть

$$ \angle BCD=3\angle C $$

По свойству внешнего угла треугольника

$$ \angle BCD=\angle A+\angle B $$

Так как $$\angle A=\angle C$$, получаем

$$ \angle BCD=\angle B+\angle C $$

Следовательно,

$$ 3\angle C=\angle B+\angle C $$

$$ \angle B=2\angle C $$

Теперь используем сумму углов треугольника:

$$ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ $$

$$ \angle C+2\angle C+\angle C=180^\circ $$

$$ 4\angle C=180^\circ,\qquad \angle C=45^\circ $$

Тогда

$$ \angle A=45^\circ,\qquad \angle B=90^\circ $$

Проверим утверждение. В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Так как углы при основании равны, то этот внешний угол равен

$$ \angle_{\text{внеш}}=\angle B+\angle A $$

Если $$\angle A=\angle C$$ и $$\angle B=2\angle A$$, то

$$ \angle_{\text{внеш}}=\angle A+\angle B=\angle A+2\angle A=3\angle A $$

Значит, внешний угол не обязательно в два раза больше несмежного с ним угла. Например, в случае пункта б он равен $$90^\circ$$, а несмежный угол равен $$45^\circ$$, то есть внешний угол действительно в два раза больше. Но это не верно для любого равнобедренного треугольника.

Следовательно, утверждение неверно.

Ответ

а) $$\angle A=\angle C=72^\circ,\ \angle B=36^\circ.$$

б) $$\angle A=\angle C=45^\circ,\ \angle B=90^\circ.$$

Утверждение неверно.