Упр.232 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если:
   а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию;
   б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.
2. Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?

а) Пусть $$\angle A=\angle C=x$$, а угол, противолежащий основанию, равен $$\angle B=y$$. По условию $$x=2y$$.

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит

$$x+y+x=180^\circ.$$

Подставим $$x=2y$$:

$$2y+y+2y=180^\circ,$$

$$5y=180^\circ,$$

$$y=36^\circ.$$

Тогда

$$x=2\cdot 36^\circ=72^\circ.$$

Следовательно, $$\angle A=\angle C=72^\circ,$$ $$\angle B=36^\circ.$$

б) Пусть $$\angle A=\angle C=x$$, а внешний угол, смежный с углом $$\angle C$$, равен $$\angle BCD$$. По условию $$x$$ в три раза меньше этого внешнего угла, то есть

$$\angle BCD=3x.$$

По свойству внешнего угла треугольника

$$\angle BCD=\angle A+\angle B=x+\angle B.$$

Значит,

$$3x=x+\angle B,$$

откуда

$$\angle B=2x.$$

Теперь используем сумму углов треугольника:

$$x+2x+x=180^\circ,$$

$$4x=180^\circ,$$

$$x=45^\circ.$$

Тогда

$$\angle B=2\cdot 45^\circ=90^\circ.$$

Следовательно, $$\angle A=\angle C=45^\circ,$$ $$\angle B=90^\circ.$$

Ответ

а) $$\angle A=\angle C=72^\circ,\ \angle B=36^\circ.$$
б) $$\angle A=\angle C=45^\circ,\ \angle B=90^\circ.$$