Упр.231 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано:
AB=BC;
Доказать:
а) угол BAC<90°; б) угол BAD>90°;
Решение:
1) Построим высоту BH;
2) Прямоугольные треугольники:
BH-общий катет; угол BHA=угол BHC;
AB=BC; треугольник ABH=треугольник CBH; угол A=угол C;
а) Сумма углов треугольника:
угол A+угол B+угол C=180°, угол A=угол C;
2угол A=180°-угол B, угол A=90°-(угол B)/2;
угол BAH=угол A=(90°-1/2угол B)<90°; б) Для развернутого угла: угол DAH=угол DAB+угол BAH=180°; угол DAB=(180°-угол BAH)>90°;
Что и требовалось доказать. Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Подробный ответ

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ дано $$AB=BC$$. Построим высоту $$BH$$ к основанию $$AC$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$. У них:

$$BH$$ — общий катет;
$$AB=BC$$ по условию;
$$\angle BHA=\angle BHC=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle CBH$$ по гипотенузе и катету. Значит, $$\angle BAH=\angle HCB$$, то есть углы при основании равны: $$\angle A=\angle C$$.

а) Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Так как $$\angle A=\angle C$$, получаем:

$$2\angle A=180^\circ-\angle B,$$

$$\angle A=90^\circ-\frac{\angle B}{2}.$$

Поскольку $$\angle B<180^\circ$$, то $$\frac{\angle B}{2}>0$$, значит

$$\angle A<90^\circ.$$

Следовательно, и $$\angle BAC$$ острый.

б) Внешний угол $$\angle DAB$$ смежный с внутренним углом $$\angle BAC$$, поэтому

$$\angle DAB=180^\circ-\angle BAC.$$

Так как $$\angle BAC<90^\circ$$, то

$$\angle DAB>90^\circ.$$