Упр.231 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что:
а) углы при основании равнобедренного треугольника острые;
б) внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые.
Медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ равна половине стороны $$BC$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

Подробный ответ

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ дано $$AB=BC$$. Проведём высоту $$BH$$ к основанию $$AC$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$. У них:

$$BH$$ — общий катет;
$$\angle BHA=\angle BHC=90^\circ$$;
$$AB=BC$$.

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle CBH$$ по гипотенузе и катету. Значит, $$\angle BAH=\angle HCB$$, то есть углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Обозначим $$\angle BAC=\angle A$$, $$\angle ABC=\angle B$$, $$\angle BCA=\angle C$$. Тогда $$\angle A=\angle C$$, а по сумме углов треугольника

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Так как $$\angle A=\angle C$$, получаем

$$2\angle A=180^\circ-\angle B,$$

откуда

$$\angle A=90^\circ-\frac{\angle B}{2}.$$

Поскольку $$\angle B>0^\circ$$, то $$\angle A<90^\circ$$. Значит, $$\angle BAC$$ острый.

Теперь рассмотрим внешний угол $$\angle DAB$$ при основании. Он смежный с углом $$\angle BAC$$, поэтому

$$\angle DAB=180^\circ-\angle BAC.$$

Так как $$\angle BAC<90^\circ$$, то

$$\angle DAB>90^\circ.$$

Следовательно, внешний угол при основании равнобедренного треугольника тупой.