Упр.226 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны треугольник $$ABC$$ и точки $$M$$ и $$N$$ такие, что середина отрезка $$BM$$ совпадает с серединой стороны $$AC$$, а середина отрезка $$CN$$ — с серединой стороны $$AB$$. Докажите, что точки $$M$$, $$N$$ и $$A$$ лежат на одной прямой.
2. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, то есть $$AB=BC$$. Докажем, что углы при основании $$A$$ и $$C$$ острые.

Предположим противное: хотя бы один из углов $$\angle A$$ или $$\angle C$$ не острый. Тогда, так как в равнобедренном треугольнике $$\angle A=\angle C$$, получаем либо

$$\angle A=\angle C=90^\circ,$$

либо

$$\angle A=\angle C>90^\circ.$$

Но тогда сумма углов треугольника была бы больше $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B+\angle C>180^\circ,$$

что невозможно, так как сумма углов любого треугольника равна $$180^\circ$$.

Следовательно, предположение неверно, и углы при основании равнобедренного треугольника острые:

$$\angle A<90^\circ,\qquad \angle C<90^\circ.$$

Ответ: $$\angle A<90^\circ,\ \angle C<90^\circ.$$