Упр.221 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 124 DE — биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника ADE.
2. Даны треугольник ABC и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.

Так как точки $$M$$ и $$E$$ лежат на одной прямой с $$A$$, а точки $$N$$ и $$F$$ — на одной прямой с $$A$$, рассмотрим треугольники $$CBF$$ и $$FNA$$.

Имеем:

• $$BF=FA$$ и $$CF=FN$$;
• $$\angle BFC=\angle NFA$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle CBF \cong \triangle FNA$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\angle BCF=\angle FNA,\qquad \angle CBF=\angle FAN.$$

Из равенства соответствующих углов получаем $$BC \parallel AN.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AME$$ и $$BEC$$.

Имеем:

• $$BE=EM$$ и $$CE=EA$$;
• $$\angle BEC=\angle AEM$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AME \cong \triangle BEC$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\angle BCE=\angle EMA.$$

Значит, $$BC \parallel AM.$$

Через точку $$A$$ проходит только одна прямая, параллельная $$BC$$, поэтому прямые $$AM$$ и $$AN$$ совпадают. Следовательно, точки $$A$$, $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой.

Ответ

$$A$$, $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой.