Упр.218 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 122 CE = ED, BE = EF и КЕ || AD. Докажите, что КЕ || ВС. Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$BCE$$ и $$DEF$$.

По условию $$BE=EF$$ и $$CE=ED$$. Кроме того, $$\angle CEB=\angle FED$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle BCE \cong \triangle DEF$$ по двум сторонам и углу между ними.

Тогда соответствующие углы равны: $$\angle CBE=\angle DFE$$.

2) Прямая $$BF$$ — секущая для прямых $$BC$$ и $$AD$$. Углы $$\angle CBE$$ и $$\angle DFE$$ являются накрест лежащими, значит, $$BC \parallel AD$$.

3) По условию $$KE \parallel AD$$. Так как через точку $$E$$ проходит только одна прямая, параллельная прямой $$AD$$, а прямая $$BC$$ тоже параллельна $$AD$$ и проходит через точку $$E$$, то $$KE \parallel BC$$.

Таким образом, $$KE \parallel BC$$.

Ответ

$$KE \parallel BC$$.

Ход решения

1) Пусть через точку $$K$$, не лежащую на прямой $$b$$, проведена прямая $$c$$, параллельная $$b$$.

Тогда по аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой.

2) Так как $$a \cap b = A$$, прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются, значит, они не параллельны. Следовательно, прямая $$c$$, параллельная $$b$$, не может совпадать с прямой $$a$$.

Но прямая $$c$$ может пересекать прямую $$a$$ в некоторой точке, отличной от $$A$$.

Значит, такую прямую провести можно.