Упр.216 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
- На рисунке 124 $$DE$$ — биссектриса угла $$ADF$$. По данным рисунка найдите углы треугольника $$ADE$$.
а) Пусть две параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены секущей $$c$$. Обозначим накрест лежащие углы через $$\angle 1$$ и $$\angle 3$$, а их биссектрисы — через $$AA_1$$ и $$BB_1$$.
Так как $$a \parallel b$$, то $$\angle 1=\angle 3$$ как накрест лежащие углы. Тогда, поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, получаем
$$\angle 2=\frac{\angle 1}{2}, \qquad \angle 4=\frac{\angle 3}{2}.$$
Из равенства $$\angle 1=\angle 3$$ следует, что $$\angle 2=\angle 4$$. Эти углы — накрест лежащие для прямых $$AA_1$$ и $$BB_1$$ при секущей $$c$$, значит,
$$AA_1 \parallel BB_1.$$
б) Пусть $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$ — односторонние углы, а их биссектрисы — $$AA_1$$ и $$BB_1$$.
Так как $$a \parallel b$$, то
$$\angle 1+\angle 2=180^\circ.$$
Поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, имеем
$$\angle 3=\frac{\angle 1}{2}, \qquad \angle 4=\frac{\angle 2}{2}.$$
Тогда
$$\angle 3+\angle 4=\frac{\angle 1+\angle 2}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$
Следовательно, угол между биссектрисами равен $$90^\circ$$, значит,
$$AA_1 \perp BB_1.$$
Ответ
а) $$AA_1 \parallel BB_1$$; б) $$AA_1 \perp BB_1$$.
