Упр.215 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Два тела Р1 и Р2 подвешены на концах нити, перекинутой через блоки А и В (рис. 121). Третье тело Р3 подвешено к той же нити в точке С и уравновешивает тела и Р2. (При этом АРХ || ВР2|| СР3.) Докажите, что угол ACB = угол CAP1 +угол CBP2. По данным рисунка 123 найдите угол 1.

Подробный ответ

Обозначим лучи, по которым направлены нити, как $$AP_1$$, $$CP_3$$ и $$BP_2$$. По условию они параллельны:

$$AP_1 \parallel CP_3,\qquad BP_2 \parallel CP_3.$$

Тогда точки $$A, C, B$$ соединены отрезками, и нужно доказать, что

$$\angle ACB=\angle CAP_1+\angle CBP_2.$$

Рассмотрим угол $$\angle CAP_1$$. Так как $$AP_1 \parallel CP_3$$, то при секущей $$AC$$ получаем односторонние углы:

$$\angle CAP_1+\angle ACP_3=180^\circ.$$

Аналогично, так как $$BP_2 \parallel CP_3$$, при секущей $$BC$$ имеем:

$$\angle CBP_2+\angle PCB_3=180^\circ.$$

Но лучи $$CA$$ и $$CP_3$$ лежат на одной прямой с лучом $$CE$$, поэтому угол $$\angle ACB$$ смежен с углом между прямой $$AC$$ и направлением нити в точке $$C$$. Следовательно,

$$\angle ACB=180^\circ-\angle ACP_3.$$

Из первого равенства:

$$\angle CAP_1=180^\circ-\angle ACP_3.$$

Аналогично для второго угла:

$$\angle CBP_2=180^\circ-\angle PCB_3.$$

Складывая полученные выражения и учитывая, что углы при точке $$C$$ дополняют друг друга до развернутого угла, получаем:

$$\angle CAP_1+\angle CBP_2=\angle ACB.$$

Тем самым требуемое равенство доказано.