Упр.211 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. $$\angle ABC=70^\circ$$, а $$\angle BCD=110^\circ$$. Могут ли прямые $$AB$$ и $$CD$$ быть: а) параллельными; б) пересекающимися?
2. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Пусть прямая $$c$$ пересекает параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Обозначим биссектрисы углов $$\angle A$$ и $$\angle B$$ через $$AA_1$$ и $$BB_1$$.

а) Биссектрисы накрест лежащих углов параллельны

Так как $$a \parallel b$$, то накрест лежащие углы равны:

$$\angle 1=\angle 3.$$

Поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, имеем:

$$\angle 1=\angle 2,\qquad \angle 3=\angle 4.$$

Из равенства $$\angle 1=\angle 3$$ и равенств $$\angle 1=\angle 2$$, $$\angle 3=\angle 4$$ получаем:

$$\angle 2=\angle 4.$$

Углы $$\angle 2$$ и $$\angle 4$$ — накрест лежащие при прямых $$AA_1$$ и $$BB_1$$ и секущей $$c$$. Значит,

$$AA_1 \parallel BB_1.$$

б) Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны

Если углы $$\angle A$$ и $$\angle B$$ — односторонние при $$a \parallel b$$, то

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то

$$\angle 1=\frac{\angle A}{2},\qquad \angle 3=\frac{\angle B}{2}.$$

Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами и секущей. Тогда

$$\angle 1+\angle 3+\angle B_1=180^\circ.$$

Подставим:

$$\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}+\angle B_1=180^\circ,$$

$$\frac{\angle A+\angle B}{2}+\angle B_1=180^\circ,$$

$$\frac{180^\circ}{2}+\angle B_1=180^\circ,$$

$$90^\circ+\angle B_1=180^\circ,$$

$$\angle B_1=90^\circ.$$

Следовательно, $$AA_1 \perp BB_1$$.

Ответ: а) параллельны; б) перпендикулярны.