Упр.204 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р. Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что СО = OD.

1) Пусть прямая p пересекает стороны треугольника AC и BC в точках M и N соответственно. Тогда точки M и N лежат на прямой p.

Предположим, что одна из прямых AC или BC не пересекает p. Тогда она была бы параллельна p. Но через точку C к прямой p можно провести только одну параллельную прямую. Так как p \parallel AB, то прямая через C, параллельная p, совпадает с прямой AB. Это невозможно, потому что AC и BC проходят через точку C и не совпадают с AB.

Следовательно, прямые AC и BC пересекают прямую p.

2) Рассмотрим треугольники ΔAOC и ΔDOB.

Так как прямые a и b параллельны, а прямая d — секущая, то

$$\angle CAO=\angle OBD$$

как накрест лежащие.

Кроме того,

$$\angle AOC=\angle DOB$$

как вертикальные углы.

По условию O — середина отрезка AB, значит

$$AO=OB.$$

Следовательно, в треугольниках ΔAOC и ΔDOB равны одна сторона и два прилежащих к ней угла, значит

$$\Delta AOC \cong \Delta DOB.$$

Тогда соответствующие стороны равных треугольников равны:

$$CO=OD.$$

Ответ

$$BC \cap p \neq \varnothing,\quad AC \cap p \neq \varnothing;\quad CO=OD.$$