Упр.204 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая $$p$$ параллельна стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$. Докажите, что прямые $$BC$$ и $$AC$$ пересекают прямую $$p$$.
Концы отрезка $$AB$$ лежат на параллельных прямых $$a$$ и $$b$$. Прямая, проходящая через середину $$O$$ этого отрезка, пересекает прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$C$$ и $$D$$. Докажите, что $$CO = OD$$.

Подробный ответ

1) Если $$p \parallel AB$$, то прямые $$AC$$ и $$BC$$ пересекают $$p$$.

Предположим противное: пусть прямая $$AC$$ не пересекает $$p$$. Тогда через точку $$C$$ и точку $$A$$ проходят две прямые $$AC$$ и $$AB$$, а прямая $$p$$, параллельная $$AB$$, не может совпадать с $$AC$$. Значит, $$AC$$ пересекает $$p$$ в некоторой точке. Аналогично прямая $$BC$$ пересекает $$p$$.

Следовательно, $$BC \cap p \neq \varnothing$$ и $$AC \cap p \neq \varnothing$$, что и требовалось доказать.

2) Если концы отрезка $$AB$$ лежат на параллельных прямых $$a$$ и $$b$$, а прямая через середину $$O$$ отрезка $$AB$$ пересекает их в точках $$C$$ и $$D$$, то $$CO=OD$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle DOB$$.

Так как прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, а прямая $$CD$$ является секущей, то

$$\angle CAO=\angle OBD$$

как накрест лежащие углы.

Кроме того,

$$\angle AOC=\angle DOB$$

как вертикальные углы.

По условию $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, значит

$$AO=OB.$$

Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle DOB$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда соответствующие стороны равны:

$$CO=OD.$$

Что и требовалось доказать.