Упр.193 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые $$AC$$ и $$BD$$ параллельны.
В треугольнике $$ABC$$ угол $$A = 40^\circ$$, угол $$B = 70^\circ$$. Через вершину $$B$$ проведена прямая $$BD$$ так, что луч $$BC$$ — биссектриса угла $$ABD$$. Докажите, что прямые $$AC$$ и $$BD$$ параллельны.

Подробный ответ

Рассмотрим первый вариант задачи.

Пусть отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$, причём $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$.

Рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$BDO$$. В них:

$$AO=OB$$ по условию;
$$CO=OD$$ по условию;
$$\angle AOC=\angle BOD$$ как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники $$ACO$$ и $$BDO$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle ACO=\angle BDO.$$

Но точки $$C, O, D$$ лежат на одной прямой, значит углы $$\angle ACO$$ и $$\angle BDO$$ являются накрест лежащими при прямых $$AC$$ и $$BD$$ и секущей $$CD$$. Поэтому

$$AC \parallel BD.$$

Что и требовалось доказать.