Упр.191 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 106 прямые a и b пересечены прямой c. Докажите, что а || b, если: а) угол 1 = 37°, угол 7 = 143°; б) угол 1 = угол 6; в) угол l = 45°, а угол 7 в три раза больше угла 3. Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ=МК. Докажите, что прямые КМ и АВ параллельны.

1) Если $$a$$ и $$b$$ пересечены прямой $$c$$, то для доказательства параллельности достаточно показать равенство односторонних углов, сумма которых равна $$180^\circ$$, или равенство накрест лежащих углов.

а) Проверим сумму углов:

$$\angle 1+\angle 7=37^\circ+143^\circ=180^\circ.$$

Следовательно, по признаку параллельности прямых $$a \parallel b$$.

б) Углы $$\angle 1$$ и $$\angle 6$$ — накрест лежащие. Так как $$\angle 1=\angle 6$$, то по признаку параллельности прямых получаем:

$$a \parallel b.$$

в) По условию $$\angle 1=45^\circ$$, а $$\angle 7$$ в три раза больше угла $$3$$. При пересечении прямых секущей углы $$\angle 1$$ и $$\angle 3$$ — вертикальные, значит

$$\angle 1=\angle 3=45^\circ.$$

Тогда

$$\angle 7=3\angle 3=3\cdot 45^\circ=135^\circ.$$

Проверим сумму односторонних углов:

$$\angle 1+\angle 7=45^\circ+135^\circ=180^\circ.$$

Следовательно, $$a \parallel b$$.

2) Рассмотрим треугольник $$BMC$$. Так как по условию $$BM=MK$$, то он равнобедренный. Значит, его углы при основании равны:

$$\angle MKB=\angle KMB.$$

Поскольку $$BK$$ — биссектриса угла $$ABC$$, имеем

$$\angle ABK=\angle KBC.$$

Точки $$B, M, C$$ лежат на одной прямой, поэтому угол $$\angle KBC$$ совпадает с углом $$\angle KBM$$, а значит

$$\angle ABK=\angle KBM.$$

Но $$\angle KBM=\angle MKB$$, следовательно

$$\angle ABK=\angle MKB.$$

Это накрест лежащие углы при прямых $$AB$$ и $$KM$$ и секущей $$BK$$. Поэтому

$$KM \parallel AB.$$

Ответ

а) $$a \parallel b$$; б) $$a \parallel b$$; в) $$a \parallel b$$; $$KM \parallel AB$$.