Упр.184 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На боковых сторонах равнобедренного треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$P$$ и $$Q$$ так, что $$\angle PXB=\angle QXC$$, где $$X$$ — середина основания $$BC$$. Докажите, что $$BQ=CP$$.
2. На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ постройте точку, равноудалённую от вершин $$A$$ и $$C$$.

Пусть $$X$$ — середина основания $$BC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$. Тогда в таком треугольнике медиана $$AX$$ является также высотой, значит $$AX \perp BC$$ и $$\angle B = \angle C$$.

Рассмотрим треугольники $$QXC$$ и $$PXB$$. У них:

• $$CX = XB$$, так как $$X$$ — середина $$BC$$;
• $$\angle QXC = \angle PXB$$ по условию;
• $$\angle QCX = \angle PBX$$, потому что $$Q \in AC$$, $$P \in AB$$ и $$\angle C = \angle B$$.

Следовательно, $$\triangle QXC \cong \triangle PXB$$ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда

$$CQ = BP.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$CQB$$ и $$BPC$$. В них:

• $$CQ = BP$$;
• $$CB$$ — общая сторона;
• $$\angle QCB = \angle PBC$$, так как $$Q \in AC$$, $$P \in AB$$ и $$\angle C = \angle B$$.

Значит, $$\triangle CQB \cong \triangle BPC$$ по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

$$BQ = CP.$$

Ответ: $$BQ = CP$$.