Упр.184 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки Р и Q так, что угол PXB = угол QXC, где X — середина основания ВС. Докажите, что BQ = CP. На стороне ВС треугольника ABC постройте точку, равноудалённую от вершин А и С.

Подробный ответ

1) Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=AC$$, а значит, углы при основании равны:

$$\angle B=\angle C.$$

2) Рассмотрим треугольники $$QXC$$ и $$PXB$$. В них:

$$CX=XB$$ — по условию;
$$\angle QXC=\angle PXB$$ — по условию;
$$\angle QCX=\angle PBX$$, так как $$\angle C=\angle B$$ и точки $$Q\in AC$$, $$P\in AB$$.

Следовательно, $$\triangle QXC \cong \triangle PXB$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда

$$CQ=BP,$$

а также $$QX=XP$$.

3) Теперь рассмотрим треугольники $$CQB$$ и $$BPC$$. У них:

$$CQ=BP$$;
$$CB$$ — общая сторона;
$$\angle QCB=\angle PBC$$, так как $$\angle C=\angle B.$$

Значит, $$\triangle CQB \cong \triangle BPC$$ по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

$$BQ=CP.$$

4) Построим на стороне $$BC$$ точку, равноудалённую от вершин $$A$$ и $$C$$.

Множество точек, равноудалённых от $$A$$ и $$C$$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $$AC$$. Поэтому нужно построить точку пересечения стороны $$BC$$ с серединным перпендикуляром к $$AC$$.

Построение: