Упр.183 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трёх отрезков AD, BD и CD не равны друг другу. Даны окружность, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и AC = PQ.

1) Докажем утверждение от противного. Предположим, что все три отрезка $$AD$$, $$BD$$ и $$CD$$ равны.

Тогда $$\triangle ADB$$, $$\triangle BDC$$ и $$\triangle ADC$$ — равнобедренные. Следовательно,

$$\angle 1=\angle 2,\quad \angle 3=\angle 4,\quad \angle 1=\angle 4.$$

Из равенства смежных углов при точке $$B$$ получаем:

$$\angle 2+\angle 3=180^\circ.$$

Так как $$\angle 2=\angle 3$$, то

$$\angle 2=\angle 3=90^\circ.$$

Тогда и

$$\angle 1=\angle 2=90^\circ,\quad \angle 3=\angle 4=90^\circ,\quad \angle 1=\angle 4=90^\circ.$$

Значит, через точку $$D$$ к прямой $$a$$ можно провести перпендикуляр, а он единственный. Но тогда точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ должны совпасть, что противоречит условию. Следовательно, предположение неверно.

Итак, по крайней мере два из отрезков $$AD$$, $$BD$$ и $$CD$$ не равны друг другу.

2) Построим треугольник $$ABC$$, если даны окружность и отрезок $$PQ$$, причём точка $$C$$ должна лежать на окружности, а $$AC=PQ$$.

Построение:

1. Построим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$PQ$$.
2. Точки пересечения этой окружности с данной окружностью обозначим через $$C$$ (если они есть).
3. Соединим точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Получим искомый треугольник $$ABC$$.

Возможны разные случаи: может быть два решения, одно решение или решений не будет — в зависимости от взаимного расположения окружностей.

Ответ

По крайней мере два из отрезков $$AD$$, $$BD$$ и $$CD$$ не равны друг другу. Треугольник $$ABC$$ строится как пересечение данной окружности с окружностью с центром в $$A$$ и радиусом $$PQ$$.