Упр.182 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны два треугольника: $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Известно, что $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$\angle A=\angle A_1$$. На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты соответственно точки $$K$$ и $$L$$, а на сторонах $$A_1C_1$$ и $$B_1C_1$$ треугольника $$A_1B_1C_1$$ — точки $$K_1$$ и $$L_1$$ так, что $$AK=A_1K_1$$, $$LC=L_1C_1$$. Докажите, что:
а) $$KL=K_1L_1$$;
б) $$AL=A_1L_1$$.
Даны прямая $$a$$, точки $$A$$, $$B$$ и отрезок $$PQ$$. Постройте треугольник $$ABC$$ так, чтобы вершина $$C$$ лежала на прямой $$a$$ и $$AC=PQ$$.

Подробный ответ

Построим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$PQ$$. Тогда любая точка пересечения этой окружности с прямой $$a$$ удовлетворяет условию $$AC=PQ$$.

Возможны три случая.

Окружность и прямая $$a$$ пересекаются в двух точках. Тогда обе точки пересечения подходят: для каждой из них выполняется $$C\in a$$ и $$AC=PQ$$. Получаем два искомых треугольника.
Окружность и прямая $$a$$ касаются. Тогда существует единственная точка пересечения $$C$$, и треугольник $$ABC$$ — искомый.
Окружность и прямая $$a$$ не имеют общих точек. Тогда построить треугольник нельзя.

Итак, искомый треугольник строится так: провести окружность с центром в $$A$$ и радиусом $$PQ$$, а затем взять точку пересечения этой окружности с прямой $$a$$.