Упр.181 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 равны, если АВ = А1В1, АС = А1С1, AM = А1М1, где AM и А1М1 — медианы треугольников. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

1) Сделаем дополнительное построение: на продолжениях медиан $$AM$$ и $$A_1M_1$$ отметим точки $$D$$ и $$D_1$$ так, что $$AM=MD$$ и $$A_1M_1=M_1D_1$$.

Рассмотрим треугольники $$BMD$$ и $$AMC$$. У них:

• $$BM=MC$$, так как $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$;
• $$AM=MD$$ по построению;
• $$\angle BMD=\angle AMC$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle BMD \cong \triangle AMC$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$BD=AC$$.

Аналогично для треугольников $$B_1M_1D_1$$ и $$A_1M_1C_1$$ получаем:

• $$B_1M_1=M_1C_1$$, так как $$A_1M_1$$ — медиана;
• $$A_1M_1=M_1D_1$$ по построению;
• $$\angle B_1M_1D_1=\angle A_1M_1C_1$$ как вертикальные.

Значит, $$\triangle B_1M_1D_1 \cong \triangle A_1M_1C_1$$, откуда $$B_1D_1=A_1C_1$$.

Теперь из условия $$AC=A_1C_1$$ и из полученных равенств имеем:

$$BD=AC=A_1C_1=B_1D_1.$$

Кроме того, по условию $$AB=A_1B_1$$, а также $$AD=A_1D_1$$, так как $$AD=AM+MD$$ и $$A_1D_1=A_1M_1+M_1D_1$$, причем $$AM=A_1M_1$$ и $$MD=M_1D_1$$.

Тогда

$$BC=2BM,\qquad B_1C_1=2B_1M_1.$$

Из равенства треугольников $$BMD$$ и $$B_1M_1D_1$$ следует $$BM=B_1M_1$$, значит, $$BC=B_1C_1$$.

Итак, у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны три стороны:

$$AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad BC=B_1C_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по трём сторонам.

2) Построение окружности радиуса $$r$$, проходящей через две данные точки $$A$$ и $$B$$.

Центр такой окружности должен находиться на равном расстоянии от точек $$A$$ и $$B$$, то есть лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$. Кроме того, он должен удовлетворять условию $$OA=r$$.

Построим:

1. серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$;
2. окружность с центром в точке $$A$$ радиуса $$r$$;
3. точку пересечения серединного перпендикуляра с этой окружностью — это и есть центр $$O$$ искомой окружности.

Тогда окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$ проходит через точки $$A$$ и $$B$$, так как $$OA=OB=r$$.

Ответ

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$; окружность строится с центром в точке пересечения серединного перпендикуляра к $$AB$$ с окружностью радиуса $$r$$, проведённой из точки $$A$$ (или $$B$$).