Упр.181 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны, если $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$AM=A_1M_1$$, где $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы треугольников.
- Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
Пусть $$M$$ и $$M_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$B_1C_1$$ соответственно, так как $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы.
Сделаем дополнительное построение: на продолжении отрезков $$AM$$ и $$A_1M_1$$ отметим точки $$D$$ и $$D_1$$ так, что $$AM=MD$$ и $$A_1M_1=M_1D_1$$.
Рассмотрим треугольники $$BMD$$ и $$AMC$$.
Имеем:
- $$AM=MD$$ — по построению;
- $$BM=MC$$ — так как $$AM$$ — медиана;
- $$\angle BMD=\angle AMC$$ — вертикальные углы.
Следовательно, $$\triangle BMD \cong \triangle AMC$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит,
$$BD=AC.$$
Аналогично из равенства треугольников $$B_1M_1D_1$$ и $$A_1M_1C_1$$ получаем
$$B_1D_1=A_1C_1.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$A_1M_1D_1$$ и $$B_1M_1C_1$$.
Имеем:
- $$A_1M_1=M_1D_1$$ — по построению;
- $$B_1M_1=M_1C_1$$ — так как $$A_1M_1$$ — медиана;
- $$\angle B_1M_1D_1=\angle A_1M_1C_1$$ — вертикальные углы.
Значит, $$\triangle A_1M_1D_1 \cong \triangle B_1M_1C_1$$, откуда
$$A_1D_1=B_1C_1.$$
Но тогда
$$AD=AM+MD=2AM,$$
$$A_1D_1=2A_1M_1.$$
Так как $$AM=A_1M_1$$, то $$AD=A_1D_1$$.
Из равенства $$AB=A_1B_1$$ по условию и уже полученного $$BD=B_1D_1$$ следует, что
$$BC=2BM=BD= B_1C_1.$$
Итак,
$$AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad BC=B_1C_1.$$
Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по трём сторонам.
Ответ: $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.
