Упр.180 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На сторонах угла $$XOY$$ отмечены точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ так, что $$OA=OB$$, $$AC=BD$$ (рис. 97). Прямые $$AD$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$E$$. Докажите, что луч $$OE$$ — биссектриса угла $$XOY$$. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

Подробный ответ

Пусть на сторонах угла $$XOY$$ отмечены точки $$A,B$$ на луче $$OX$$ и точки $$C,D$$ на луче $$OY$$ так, что $$OA=OB$$ и $$AC=BD$$. Прямые $$AD$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$E$$.

Докажем, что луч $$OE$$ — биссектриса угла $$XOY$$.

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$. Имеем:

$$OA=OB$$ по условию;
$$OD=OC$$, так как $$OD=OB+BD$$ и $$OC=OA+AC$$, а $$OB=OA$$, $$BD=AC$$;
$$\angle AOD=\angle BOC$$, так как это один и тот же угол $$XOY$$.

Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle BOC$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle ODA=\angle BCO,\qquad \angle DAO=\angle CBO.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$DBE$$ и $$AEC$$. У них:

$$DB=AC$$ по условию;
$$\angle DBE=\angle ACE$$, так как $$BE$$ лежит на прямой $$BC$$, а $$CE$$ лежит на прямой $$BC$$;
$$\angle DEB=\angle AEC$$ — вертикальные углы.

Значит, $$\triangle DBE \cong \triangle AEC$$, поэтому $$BE=EA$$.

Рассмотрим теперь треугольники $$BOE$$ и $$AOE$$. В них:

$$OE$$ — общая сторона;
$$BO=OA$$ по условию;
$$BE=EA$$, как доказано выше.

Следовательно, $$\triangle BOE \cong \triangle AOE$$ по трём сторонам. Тогда

$$\angle BOE=\angle EOA.$$

Значит, луч $$OE$$ делит угол $$BOA$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$XOY$$.

Способ построения биссектрисы по этому факту таков: на сторонах угла выбирают точки $$A$$ и $$B$$ на одном луче и $$C$$ и $$D$$ на другом так, чтобы $$OA=OB$$ и $$AC=BD$$; затем проводят прямые $$AD$$ и $$BC$$. Точка их пересечения $$E$$ лежит на биссектрисе угла, поэтому луч $$OE$$ и есть искомая биссектриса.