Упр.179 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что $$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$, если $$\angle A = \angle A_1$$, $$\angle B = \angle B_1$$, $$BC = B_1C_1$$.
2. На боковых сторонах $$AB$$ и $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$P$$ и $$Q$$ так, что $$\angle PXB = \angle QXC$$, где $$X$$ — середина основания $$BC$$. Докажите, что $$BQ = CP$$.

Рассмотрим второй вариант задания.

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$AB=AC$$, а значит, углы при основании равны:

$$\angle B=\angle C.$$

По условию $$BX=XC$$ и $$\angle PXB=\angle QXC$$. Тогда треугольники $$PXB$$ и $$QXC$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$BX=XC,$$

$$\angle PXB=\angle QXC,$$

$$\angle B=\angle C.$$

Следовательно,

$$BP=CQ,$$

$$XP=XQ.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$CQB$$ и $$BPC$$. В них:

$$CQ=BP,$$

$$CB$$ — общая сторона,

$$\angle C=\angle B.$$

Значит, треугольники $$CQB$$ и $$BPC$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие стороны равны:

$$BQ=CP.$$

Ответ

$$BQ=CP.$$