Упр.178 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.
- Даны три точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, лежащие на одной прямой, и точка $$D$$, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трёх отрезков $$AD$$, $$BD$$ и $$CD$$ не равны друг другу.
Предположим противное: $$AD=BD=CD.$$
Тогда треугольники $$ADB,$$ $$BDC$$ и $$ADC$$ равнобедренные. Значит, их углы при основании равны:
$$\angle DAB=\angle ABD,\quad \angle BCD=\angle CBD,\quad \angle DAC=\angle ACD.$$
Так как точки $$A,\ B,\ C$$ лежат на одной прямой, то смежные углы $$\angle ABD$$ и $$\angle DBC$$ составляют развернутый угол:
$$\angle ABD+\angle DBC=180^\circ.$$
Но $$\angle ABD=\angle DAB$$, а $$\angle DBC=\angle BCD$$, поэтому
$$\angle DAB+\angle BCD=180^\circ.$$
С другой стороны, в треугольнике $$DBC$$ имеем
$$\angle DBC+\angle BCD+\angle BDC=180^\circ.$$
Так как $$\angle DBC=\angle DAB$$, то из двух равенств получаем
$$\angle DAB+\angle BCD=\angle DAB+\angle BCD+\angle BDC,$$
откуда $$\angle BDC=0^\circ,$$ что невозможно.
Следовательно, наше предположение неверно. Значит, не могут быть равны все три отрезка $$AD,\ BD,\ CD$$, то есть по крайней мере два из них не равны друг другу.
Ответ
По крайней мере два из отрезков $$AD,\ BD,\ CD$$ не равны друг другу.
