Упр.176 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольниках ABC и ADC стороны ВС и AD равны и пересекаются в точке О, угол OAC = угол OCA. Докажите, что треугольники АВО и С DO равны. Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 равны, если АВ = А1В1, АС = А1С1, AM = А1М1, где AM и А1М1 — медианы треугольников.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. По условию $$BC=AD$$, сторона $$AC$$ — общая, а $$\angle OAC=\angle OCA$$.

Так как точки $$O$$ лежит на прямых $$AD$$ и $$BC$$, то

$$\angle BAO=\angle A-\angle OAC,$$

$$\angle DCO=\angle C-\angle OCA.$$

Но из равенства треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$ следует $$\angle A=\angle C$$, значит,

$$\angle BAO=\angle DCO.$$

Кроме того, из равенства треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$ получаем $$AB=CD$$.

Следовательно, в треугольниках $$ABO$$ и $$CDO$$:

$$AB=CD,$$

$$BC=AD,$$

$$\angle BAO=\angle DCO.$$

Значит, треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ равны по двум сторонам и углу между ними.

2) Докажем теперь, что $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$, если $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$AM=A_1M_1$$, где $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы.

Пусть на продолжении медиан отмечены точки $$D$$ и $$D_1$$ так, что $$AM=MD$$ и $$A_1M_1=M_1D_1$$.

Тогда треугольники $$BMD$$ и $$AMC$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AM=MD,$$

$$BM=MC$$, так как $$AM$$ — медиана,

$$\angle BMD=\angle AMC$$ как вертикальные.

Отсюда $$BD=AC$$.

Аналогично треугольники $$B_1M_1D_1$$ и $$A_1M_1C_1$$ равны, поэтому

$$B_1D_1=A_1C_1.$$

Теперь из равенств $$AM=A_1M_1$$ и $$MD=M_1D_1$$ получаем $$AD=A_1D_1$$, а из равенства медиан следует

$$BC=2BM,\qquad B_1C_1=2B_1M_1.$$

Так как $$BM=B_1M_1$$, то $$BC=B_1C_1$$.

Итак, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено: