Упр.175 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны, если $$AB=A_1B_1$$, $$\angle A=\angle A_1$$, $$AD=A_1D_1$$, где $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы треугольников.
- На сторонах угла $$XOY$$ отмечены точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ так, что $$OA=OB$$, $$AC=BD$$ (рис. 97). Прямые $$AD$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$E$$. Докажите, что луч $$OE$$ — биссектриса угла $$XOY$$. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.
Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$.
Имеем:
$$OA=OB$$ — по условию,
$$OD=OC,$$ так как $$OD=DB+BO,$$ а $$OC=AC+AO,$$ и по условию $$AC=BD,\ OA=OB.$$
Кроме того, $$\angle AOD=\angle BOC$$ как вертикальные углы.
Значит, треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$\angle ODA=\angle BCO,\qquad \angle DAO=\angle CBO.$$
Теперь рассмотрим углы $$\angle DAC$$ и $$\angle DBC$$. Так как точки $$A, B, C, D$$ лежат на сторонах угла $$XOY$$, то
$$\angle DAC+\angle DAO=180^\circ,$$
$$\angle DBC+\angle CBO=180^\circ.$$
Из равенства $$\angle DAO=\angle CBO$$ получаем
$$\angle DAC=\angle DBC.$$
Тогда треугольники $$DBE$$ и $$AEC$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:
$$DB=AC$$ — по условию,
$$\angle DBC=\angle DAC,$$
$$\angle BDE=\angle ACE$$ — как вертикальные углы при пересечении прямых $$AD$$ и $$BC$$ в точке $$E$$.
Следовательно, $$BE=EA.$$
Рассмотрим треугольники $$BOE$$ и $$AOE$$. У них:
$$BO=OA$$ — по условию,
$$BE=EA,$$
$$OE$$ — общая сторона.
Значит, треугольники $$BOE$$ и $$AOE$$ равны по трём сторонам. Поэтому
$$\angle BOE=\angle EOA.$$
Следовательно, луч $$OE$$ делит угол $$XOY$$ пополам, то есть является биссектрисой.
Ответ
$$OE$$ — биссектриса угла $$XOY$$.
