Упр.174 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 95 $$OC = OD$$, $$OB = OE$$. Докажите, что $$AB = EF$$. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка $$AB$$ на рисунке 95), основанный на этой задаче.
- Докажите, что треугольник $$ABC$$ = треугольник $$A_1B_1C_1$$, если угол $$A$$ = угол $$A_1$$, угол $$B$$ = угол $$B_1$$, $$BC = B_1C_1$$.
Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$EOD$$.
Имеем:
- $$BO=OE$$ — по условию;
- $$CO=OD$$ — по условию;
- $$\angle BOC=\angle EOD$$ — как вертикальные.
Следовательно, $$\triangle BOC \cong \triangle EOD$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$\angle CBO=\angle OED$$.
Теперь рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$OEF$$.
Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, а точки $$D, E, F$$ — на одной прямой, то углы $$\angle ABO$$ и $$\angle OEF$$ являются смежными с углами $$\angle CBO$$ и $$\angle OED$$ соответственно. Значит,
$$\angle ABO=180^\circ-\angle CBO,$$
$$\angle OEF=180^\circ-\angle OED.$$
Но $$\angle CBO=\angle OED$$, поэтому $$\angle ABO=\angle OEF$$.
Кроме того, $$\angle AOB=\angle FOE$$ как вертикальные.
Итак, в треугольниках $$ABO$$ и $$OEF$$:
- $$BO=OE$$;
- $$\angle ABO=\angle OEF$$;
- $$\angle AOB=\angle FOE$$.
Следовательно, $$\triangle ABO \cong \triangle OEF$$, откуда
$$AB=EF.$$
Это и требовалось доказать.
Способ измерения ширины озера основан на построении двух равных треугольников по разные стороны от точки $$O$$. Измерив на берегу отрезок $$EF$$, получаем равный ему отрезок $$AB$$, то есть ширину озера.
