Упр.173 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольнике ABC угол A=38°, угол B = 110°, угол C = 32°. На стороне АС отмечены точки D и Е так, что точка D лежит на отрезке АЕ, BD=DA, ВЕ = ЕС. Найдите угол DBE. Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.

1) Так как $$BD=DA,$$ то треугольник $$ADB$$ равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:

$$\angle DAB=\angle DBA=38^\circ.$$

2) Так как $$BE=EC,$$ то треугольник $$BEC$$ равнобедренный. Значит,

$$\angle EBC=\angle BCE=\angle C=32^\circ.$$

3) Угол $$ABC$$ состоит из трёх углов:

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBE+\angle EBC.$$

Подставим известные значения:

$$\angle DBE=110^\circ-38^\circ-32^\circ=40^\circ.$$

4) Докажем утверждение про смежный угол. Пусть в треугольнике $$ABC$$ смежный с углом $$\angle BCA$$ угол равен $$\angle BCD$$. Тогда

$$\angle BCA+\angle BCD=180^\circ.$$

По теореме о сумме углов треугольника:

$$\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180^\circ.$$

Вычитая из первого равенства второе, получаем:

$$\angle BCD=\angle BAC+\angle ABC.$$

Так как $$\angle BAC>0$$ и $$\angle ABC>0,$$ то

$$\angle BCD>\angle BAC,\qquad \angle BCD>\angle ABC.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle DBE=40^\circ.$$