Упр.172 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Стороны равностороннего треугольника $$ABC$$ продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки $$AD$$, $$CE$$, $$BF$$. Докажите, что треугольник $$DEF$$ — равносторонний.
2. Задание учебника 2023 года. На рисунке 96 $$AC=AD$$, $$AB\perp CD$$. Докажите, что $$BC=BD$$ и $$\angle ACB=\angle ADB$$.

Решение

Рассмотрим сначала первый вариант.

Так как $$\triangle ABC$$ — равносторонний, то

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

Смежные с ними углы равны:

$$\angle 1+\angle A=180^\circ,$$

$$\angle 2+\angle B=180^\circ,$$

$$\angle 3+\angle C=180^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle 1=\angle 2=\angle 3.$$

Теперь запишем равенства для отрезков:

$$DB=DA+AB,$$

$$FC=FB+BC,$$

$$AE=AC+CE.$$

Так как $$AB=BC=CA$$ и $$AD=CE=BF$$, то

$$DB=DA+AB=BF+BC=FC,$$

а также $$AE=AC+CE=AB+BF.$$

Рассмотрим треугольники $$DBF$$ и $$FEC$$. У них:

• $$BF=CE$$ по условию;
• $$DB=FC$$;
• $$\angle DBF=\angle FCE$$, так как $$\angle 2=\angle 3$$.

Значит, $$\triangle DBF \cong \triangle FEC$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$DF=FE.$$

Аналогично, из равенства соответствующих сторон получаем

$$DE=DF=FE.$$

Следовательно, $$\triangle DEF$$ — равносторонний.

Теперь второй вариант.

Так как $$AC=AD$$, то $$\triangle CAD$$ — равнобедренный. Значит,

$$\angle DCA=\angle CDA.$$

Поскольку $$AB\perp CD$$, прямая $$AB$$ является высотой треугольника $$CAD$$, а в равнобедренном треугольнике она также является биссектрисой и медианой. Поэтому точка $$O$$ — середина отрезка $$CD$$, то есть

$$CO=OD.$$

Рассмотрим треугольники $$ACB$$ и $$ADB$$. У них:

• $$AB$$ — общая сторона;
• $$AC=AD$$ по условию;
• $$\angle CAB=\angle DAB$$, так как $$AB$$ — биссектриса угла $$CAD$$.

Следовательно, $$\triangle ACB \cong \triangle ADB$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$BC=BD,$$

и соответствующие углы равны:

$$\angle ACB=\angle ADB.$$

Ответ

$$\triangle DEF$$ — равносторонний; $$BC=BD$$, $$\angle ACB=\angle ADB.$$