Упр.171 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в их общей середине $$O$$. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AC$$ и $$BD$$. Докажите, что точка $$O$$ — середина отрезка $$MN$$.
Задание учебника 2023 года. В треугольниках $$ABC$$ и $$ADC$$ стороны $$BC$$ и $$AD$$ равны и пересекаются в точке $$O$$, $$\angle OAC = \angle OCA$$. Докажите, что треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ равны.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$. По условию $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$. Углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ — вертикальные, значит, равны.

Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AC=BD,$$

а также $$\angle ACO=\angle BDO.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$MOC$$ и $$DON$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AC$$ и $$BD$$, то

$$MC=\frac{AC}{2}, \qquad DN=\frac{BD}{2}.$$

Но $$AC=BD$$, значит, $$MC=DN.$$

Кроме того, $$OC=OD$$ по условию, а углы $$\angle MCO$$ и $$\angle NDO$$ равны, так как $$M\in AC$$, $$N\in BD$$ и $$\angle ACO=\angle BDO.$$

Следовательно, $$\triangle MOC \cong \triangle DON$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда соответствующие стороны равны:

$$OM=ON.$$

Значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$MN$$.