Упр.170 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в их общей середине $$O$$. На отрезках $$AC$$ и $$BD$$ отмечены точки $$K$$ и $$K_1$$ так, что $$AK = BK_1$$. Докажите, что: а) $$OK = OK_1$$; б) точка $$O$$ лежит на прямой $$KK_1$$.
Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны, если $$AB = A_1B_1$$, $$\angle A = \angle A_1$$, $$AD = A_1D_1$$, где $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы треугольников.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$.

Так как отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в общей середине $$O$$, то

$$AO=OB,\qquad CO=OD.$$

Углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ — вертикальные, значит,

$$\angle AOC=\angle BOD.$$

Следовательно, треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle CAO=\angle DBO.$$

Но точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, поэтому углы $$\angle CAO$$ и $$\angle DBO$$ — это углы между прямой $$AC$$ и прямой $$AB$$, а также между прямой $$BD$$ и прямой $$BA$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$AKO$$ и $$BK_1O$$.

Имеем:

$$AO=OB,$$

$$AK=BK_1$$

по условию, и

$$\angle KAO=\angle K_1BO,$$

так как $$\angle KAO=\angle CAO$$, $$\angle K_1BO=\angle DBO$$, а $$\angle CAO=\angle DBO$$.

Значит, треугольники $$AKO$$ и $$BK_1O$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

$$OK=OK_1.$$

Кроме того, из равенства этих треугольников получаем

$$\angle AOK=\angle BOK_1.$$

Но точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, значит углы $$\angle AOK$$ и $$\angle BOK_1$$ — вертикальные. Следовательно, точки $$K, O, K_1$$ лежат на одной прямой.

Итак,

$$OK=OK_1,$$

а точка $$O$$ лежит на прямой $$KK_1.$$