Упр.170 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К1 так, что АК = ВК1. Докажите, что: a) ОК = ОК1; б) точка О лежит на прямой КК1. Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 равны, если АВ = А1В1, угол A = угол A1, AD = A1D1, где AD и A1D1 — биссектрисы треугольников.

Подробный ответ

а) Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$. По условию $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$. Углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ — вертикальные, значит, равны. Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда получаем $$\angle ACO=\angle BDO$$. Так как точки $$K$$ и $$K_1$$ лежат соответственно на отрезках $$AC$$ и $$BD$$, то $$\angle ACK=\angle BDK_1$$. Кроме того, $$AK=BK_1$$ по условию, а $$AO=OB$$, значит, треугольники $$AKO$$ и $$BK_1O$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AO=OB,$$
$$AK=BK_1,$$
$$\angle AOK=\angle BOK_1$$

Следовательно, $$OK=OK_1$$.

Теперь в треугольниках $$AOK$$ и $$BK_1O$$ равны две стороны и угол между ними, значит, равны и углы $$\angle AOK$$ и $$\angle BOK_1$$. Эти углы — вертикальные, поэтому точки $$K$$, $$O$$ и $$K_1$$ лежат на одной прямой.

б) Из пункта а) уже получено, что $$OK=OK_1$$ и точки $$K$$, $$O$$, $$K_1$$ коллинеарны. Значит, $$O$$ лежит на прямой $$KK_1$$.

Ответ

а) $$OK=OK_1$$; б) $$O \in KK_1$$.

Ход решения

Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ отрезки $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы. Дано: $$AB=A_1B_1$$, $$\angle A=\angle A_1$$, $$AD=A_1D_1$$.

Так как $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, то

$$\angle BAD=\angle DAC,$$
$$\angle B_1A_1D_1=\angle D_1A_1C_1.$$

Из равенства углов $$\angle A=\angle A_1$$ следует, что

$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1,$$
$$\angle DAC=\angle D_1A_1C_1.$$

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$. В них

$$AB=A_1B_1,$$
$$AD=A_1D_1,$$
$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда $$BD=B_1D_1$$ и $$\angle ABD=\angle A_1B_1D_1$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$ACD$$ и $$A_1C_1D_1$$. Имеем

$$AD=A_1D_1,$$
$$\angle DAC=\angle D_1A_1C_1.$$

Кроме того, из равенства треугольников $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ получаем $$\angle ADB=\angle A_1D_1B_1$$, а так как точки $$B,D,C$$ и $$B_1,D_1,C_1$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle ADC=\angle A_1D_1C_1.$$

Следовательно, $$\triangle ACD \cong \triangle A_1C_1D_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $$AC=A_1C_1$$.

Итак, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$AB=A_1B_1,$$
$$AC=A_1C_1,$$
$$\angle A=\angle A_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.