Упр.167 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если BD = СЕ, то угол CAD=угол BAE и АВ =АС; б) если угол CAD = угол BAE, то BD = CE и АВ =АС. Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки AD, СЕ, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Подробный ответ

а) Рассмотрим треугольники $$DAB$$ и $$CAE$$. В равнобедренном треугольнике $$ADE$$ имеем $$AD=AE$$. По условию $$BD=CE$$, а углы $$\angle ADB$$ и $$\angle AEC$$ равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Значит, треугольники $$DAB$$ и $$CAE$$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда следует, что $$AB=AC$$ и $$\angle DAB=\angle CAE$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$DAC$$ и $$BAE$$. Имеем:

$$AD=AE,$$
$$AC=AB,$$
$$DC=DB+BC,\quad BE=CE+BC.$$

Так как $$BD=CE$$, то $$DC=BE$$. Следовательно, треугольники $$DAC$$ и $$BAE$$ равны по трём сторонам. Поэтому

$$\angle CAD=\angle BAE.$$

б) Пусть теперь $$\angle CAD=\angle BAE$$. Рассмотрим треугольники $$DAC$$ и $$BAE$$. В них:

$$AD=AE,$$
$$\angle DAC=\angle BAE,$$
$$\angle DCA=\angle ABE$$

как углы при основании равнобедренного треугольника и по условию. Значит, треугольники $$DAC$$ и $$BAE$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда

$$AC=AB,$$
$$DC=BE.$$

Но

$$DC=DB+BC,\qquad BE=CE+BC.$$

Из равенства $$DC=BE$$ получаем $$DB=CE$$.

Таким образом, $$BD=CE$$ и $$AB=AC$$.