Упр.167 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 92 треугольник $$ADE$$ равнобедренный, $$DE$$ — основание. Докажите, что:
а) если $$BD=CE$$, то $$\angle CAD=\angle BAE$$ и $$AB=AC$$;
б) если $$\angle CAD=\angle BAE$$, то $$BD=CE$$ и $$AB=AC$$. - Стороны равностороннего треугольника $$ABC$$ продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки $$AD$$, $$CE$$, $$BF$$. Докажите, что треугольник $$DEF$$ — равносторонний.
Рассмотрим треугольники $$DAB$$ и $$CAE$$. Так как $$\triangle ADE$$ равнобедренный, то $$AD=AE$$. По условию $$BD=CE$$. Кроме того, $$\angle DAB=\angle CAE$$, поскольку лучи $$AB$$ и $$AC$$ лежат внутри равных углов при вершине $$A$$ и образуют с боковыми сторонами равнобедренного треугольника соответствующие углы.
Тогда $$\triangle DAB \cong \triangle CAE$$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
$$AB=AC,$$
$$\angle DBA=\angle ACE.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$DAC$$ и $$BAE$$. Имеем:
$$AD=AE,$$
$$AC=AB,$$
$$DC=DB+BC,\qquad BE=CE+BC.$$
Так как $$DB=CE$$, то $$DC=BE$$. Значит, $$\triangle DAC \cong \triangle BAE$$ по трём сторонам. Отсюда
$$\angle CAD=\angle BAE.$$
Итак, при $$BD=CE$$ получаем $$\angle CAD=\angle BAE$$ и $$AB=AC$$.
Обратно, пусть $$\angle CAD=\angle BAE$$. Тогда рассмотрим треугольники $$DAC$$ и $$ABE$$. У них
$$AD=AE,$$
$$\angle DAC=\angle EAB,$$
$$\angle DCA=\angle ABE,$$
поскольку $$\triangle ADE$$ равнобедренный и задано $$\angle CAD=\angle BAE$$. Следовательно, $$\triangle DAC \cong \triangle ABE$$, откуда
$$AC=AB,$$
$$DC=BE.$$
Но
$$DC=DB+BC,\qquad BE=CE+BC,$$
значит, $$DB=CE$$.
Таким образом, доказано, что из $$\angle CAD=\angle BAE$$ следует $$BD=CE$$ и $$AB=AC$$.
Ответ: а) $$\angle CAD=\angle BAE,$$ $$AB=AC$$; б) $$BD=CE,$$ $$AB=AC$$.
