Упр.166 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольниках ABC и А1В1С1 медианы AM и А1М1 равны, ВС = В1С1 и угол AMB = угол A1M1B1. Докажите, что треугольник АВС=треугольник A1B1C1. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$AMB$$ и $$A_1M_1B_1$$.

Так как $$AM=A_1M_1$$ по условию, $$\angle AMB=\angle A_1M_1B_1$$ по условию, а

$$BM=\frac{1}{2}BC,\qquad B_1M_1=\frac{1}{2}B_1C_1,$$

причём $$BC=B_1C_1$$, то $$BM=B_1M_1$$.

Следовательно, $$\triangle AMB \cong \triangle A_1M_1B_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$AB=A_1B_1$$ и $$\angle B=\angle B_1$$.

2) Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Имеем:

$$AB=A_1B_1,$$

$$BC=B_1C_1,$$

$$\angle B=\angle B_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

Ход решения

1) Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$.

Так как $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$ по условию, а $$\angle AOC=\angle BOD$$ как вертикальные, то $$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда $$AC=BD$$ и $$\angle ACO=\angle ODB$$.

2) Рассмотрим треугольники $$MOC$$ и $$DON$$.

Так как $$M$$ — середина $$AC$$, а $$N$$ — середина $$BD$$, то

$$MC=\frac{AC}{2},\qquad DN=\frac{BD}{2}.$$

Из равенства $$AC=BD$$ получаем $$MC=DN$$.

Кроме того, $$CO=OD$$ по условию и $$\angle MCO=\angle NDO$$, поскольку $$M\in AC$$, $$N\in BD$$ и $$\angle ACO=\angle ODB$$.

Значит, $$\triangle MOC \cong \triangle DON$$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $$OM=ON$$.

Итак, точка $$O$$ — середина отрезка $$MN$$.