Упр.166 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ медианы $$AM$$ и $$A_1M_1$$ равны, $$BC = B_1C_1$$ и угол $$\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ равен треугольнику $$A_1B_1C_1$$.
2. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в их общей середине $$O$$. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AC$$ и $$BD$$. Докажите, что точка $$O$$ — середина отрезка $$MN$$.

Рассмотрим треугольники $$AMB$$ и $$A_1M_1B_1$$.

В них:

• $$AM=A_1M_1$$ — по условию;
• $$\angle AMB=\angle A_1M_1B_1$$ — по условию;
• $$BM=\frac12 BC,\quad B_1M_1=\frac12 B_1C_1,$$ а так как $$BC=B_1C_1,$$ то $$BM=B_1M_1.$$

Следовательно, $$\triangle AMB \cong \triangle A_1M_1B_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$AB=A_1B_1,\qquad \angle B=\angle B_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. У них:

• $$AB=A_1B_1;$$
• $$BC=B_1C_1;$$
• $$\angle B=\angle B_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$