Упр.165 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямая $$a$$ проходит через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой $$a$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$; б) каждая точка, равноудалённая от точек $$A$$ и $$B$$, лежит на прямой $$a$$.
- Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в их общей середине $$O$$. На отрезках $$AC$$ и $$BD$$ отмечены точки $$K$$ и $$K_1$$ так, что $$AK=BK_1$$. Докажите, что: a) $$OK=OK_1$$; б) точка $$O$$ лежит на прямой $$KK_1$$.
1) Пусть точка $$D$$ лежит на прямой $$a$$. Рассмотрим треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$.
Имеем:
- $$DO$$ — общая сторона;
- $$\angle DOA=\angle DOB=90^\circ$$, так как $$a \perp AB$$;
- $$AO=OB$$, потому что прямая $$a$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.
Следовательно, $$\triangle DOA \cong \triangle DOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$AD=DB$$.
Итак, каждая точка прямой $$a$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$.
2) Пусть теперь $$AD=DB$$. Докажем, что $$D \in a$$.
Рассмотрим треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$. В них:
- $$DO$$ — общая сторона;
- $$AD=DB$$ по условию;
- $$AO=OB$$ по условию.
Следовательно, $$\triangle DOA \cong \triangle DOB$$ по трём сторонам. Тогда $$\angle ADO=\angle ODB$$.
Но углы $$\angle ADO$$ и $$\angle ODB$$ смежные, поэтому их сумма равна $$180^\circ$$. Равные смежные углы могут быть только по $$90^\circ$$. Значит,
$$\angle ADO=\angle ODB=90^\circ.$$
Отсюда $$DO \perp AB$$. Так как прямая $$a$$ тоже проходит через точку $$O$$ и перпендикулярна $$AB$$, то $$DO$$ совпадает с прямой $$a$$. Следовательно, $$D \in a$$.
Что и требовалось доказать.
