Упр.163 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основание равнобедренного треугольника равно $$8\text{ см}$$. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на $$2\text{ см}$$ больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.
2. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, причём $$AB=BC$$. Обозначим через $$M$$ середину стороны $$AB$$, тогда $$CM$$ — медиана к боковой стороне.

Рассмотрим два треугольника: $$\triangle AMC$$ и $$\triangle MBC$$. Их периметры равны

$$P_{AMC}=AC+AM+MC,$$

$$P_{MBC}=BC+BM+MC.$$

По условию один из этих периметров на $$2$$ см больше другого. Так как $$M$$ — середина стороны $$AB$$, то

$$AM=BM.$$

Тогда разность периметров равна

$$P_{AMC}-P_{MBC}=AC-BC=8-BC,$$

или

$$P_{MBC}-P_{AMC}=BC-AC=BC-8.$$

По условию эта разность по модулю равна $$2$$, значит:

$$8-BC=2 \quad \text{или} \quad BC-8=2.$$

Отсюда получаем два возможных значения:

$$BC=6\text{ см}$$

или

$$BC=10\text{ см}.$$

Ответ: $$6\text{ см}$$ или $$10\text{ см}$$.