Упр.162 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите стороны треугольника. На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если BD = СЕ, то угол CAD=угол BAE и АВ =АС; б) если угол CAD = угол BAE, то BD = CE и АВ =АС.
1) Обозначим боковые стороны равнобедренного треугольника через $$x$$ см, тогда основание равно $$x+2$$ см. По условию основание на $$3$$ см меньше суммы боковых сторон, значит
$$x+2=2x-3.$$
Решаем уравнение:
$$x=5.$$
Следовательно, боковые стороны равны $$5$$ см, а основание:
$$5+2=7.$$
Значит, стороны треугольника: $$5$$ см, $$5$$ см и $$7$$ см.
2) Докажем утверждения.
а) Если $$BD=CE$$, то рассмотрим треугольники $$DAB$$ и $$CAE$$.
В равнобедренном треугольнике $$ADE$$ имеем $$AD=AE$$. Кроме того, $$DB=CE$$ по условию, а углы $$\angle ADB$$ и $$\angle AEC$$ равны как углы при основании равнобедренного треугольника.
Следовательно, треугольники $$DAB$$ и $$CAE$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда соответствующие стороны равны:
$$AB=AC.$$
Из равенства этих треугольников также получаем равенство соответствующих углов:
$$\angle DAB=\angle CAE.$$
Так как точки $$D, B, C, E$$ лежат на одной прямой, то
$$\angle CAD=\angle BAE.$$
б) Если $$\angle CAD=\angle BAE$$, то рассмотрим треугольники $$DAC$$ и $$ABE$$.
Имеем:
$$AD=AE,$$
$$\angle D=\angle E,$$
$$\angle CAD=\angle BAE.$$
Следовательно, треугольники $$DAC$$ и $$ABE$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда
$$AC=AB.$$
Теперь докажем, что $$BD=CE$$. Так как точки $$D, B, C, E$$ лежат на одной прямой, то
$$DC=DB+BC,$$
$$BE=BC+CE.$$
Из равенства треугольников $$DAC$$ и $$ABE$$ получаем также $$DC=BE$$. Тогда
$$DB+BC=BC+CE,$$
откуда
$$BD=CE.$$
Ответ
$$AB=BC=5\text{ см},\quad AC=7\text{ см}.$$
а) $$\angle CAD=\angle BAE$$ и $$AB=AC$$; б) $$BD=CE$$ и $$AB=AC$$.
