Упр.160 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а)45°; б) 22°30′. Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В; б) каждая точка, равноудалённая от точек А и В, лежит на прямой а.

Пусть $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, а прямая $$a$$ проходит через точку $$O$$ и перпендикулярна $$AB$$.

а) Возьмём любую точку $$D$$ на прямой $$a$$. Тогда $$DO \perp AB$$, значит $$\angle DOA = \angle DOB = 90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$. У них:

• $$DO$$ — общая сторона;
• $$AO = OB$$, так как $$O$$ — середина $$AB$$;
• $$\angle DOA = \angle DOB$$.

Следовательно, $$\triangle DOA \cong \triangle DOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$AD = DB.$$

Значит, каждая точка прямой $$a$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$.

б) Пусть теперь точка $$D$$ такова, что $$AD = DB$$. Докажем, что $$D \in a$$.

Рассмотрим треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$. Имеем:

• $$DO$$ — общая сторона;
• $$AD = DB$$ по условию;
• $$AO = OB$$, так как $$O$$ — середина $$AB$$.

Следовательно, $$\triangle DOA \cong \triangle DOB$$ по трём сторонам. Тогда

$$\angle AOD = \angle DOB.$$

Но точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, поэтому

$$\angle AOD + \angle DOB = 180^\circ.$$

Так как эти углы равны, то каждый из них равен $$90^\circ$$. Значит,

$$DO \perp AB.$$

Прямая, проходящая через точку $$O$$ перпендикулярно $$AB$$, единственна, следовательно, $$D \in a$$.

Итак, каждая точка, равноудалённая от $$A$$ и $$B$$, лежит на прямой $$a$$.

Ответ

а) Любая точка прямой $$a$$ равноудалена от $$A$$ и $$B$$.
б) Любая точка, равноудалённая от $$A$$ и $$B$$, лежит на прямой $$a$$.