Упр.160 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) $$45^\circ$$; б) $$22^\circ30’$$.
2. Прямая $$a$$ проходит через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой $$a$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$; б) каждая точка, равноудалённая от точек $$A$$ и $$B$$, лежит на прямой $$a$$.

Пусть $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, а прямая $$a$$ проходит через точку $$O$$ и перпендикулярна $$AB$$.

Доказательство

а) Возьмём любую точку $$D$$ на прямой $$a$$. Тогда $$DO \perp AB$$, значит $$\angle DOA=\angle DOB=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$. У них:

• $$DO$$ — общая сторона;
• $$AO=OB$$, так как $$O$$ — середина отрезка $$AB$$;
• $$\angle DOA=\angle DOB=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle DOA \cong \triangle DOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда $$AD=DB$$.

Значит, каждая точка прямой $$a$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$.

б) Пусть теперь точка $$D$$ такова, что $$AD=DB$$. Докажем, что $$D \in a$$.

Рассмотрим треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$. У них:

• $$DO$$ — общая сторона;
• $$AD=DB$$ по условию;
• $$AO=OB$$, так как $$O$$ — середина отрезка $$AB$$.

Следовательно, $$\triangle DOA \cong \triangle DOB$$ по трём сторонам. Отсюда $$\angle AOD=\angle DOB$$.

Но точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, значит

$$\angle AOD+\angle DOB=180^\circ.$$

Так как эти углы равны, то каждый из них равен $$90^\circ$$. Значит, $$DO \perp AB$$.

Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему, единственна, поэтому $$D \in a$$.

Ответ

а) Каждая точка прямой $$a$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$.
б) Каждая точка, равноудалённая от точек $$A$$ и $$B$$, лежит на прямой $$a$$.