Упр.159 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б)медиану ВМ; в) высоту СН треугольника. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

Подробный ответ

а) Построим биссектрису $$AK$$. Из вершины $$A$$ проведём дугу, пересекающую стороны угла $$\angle A$$ в точках $$P$$ и $$Q$$. Из точек $$P$$ и $$Q$$ проведём дуги одинакового радиуса, которые пересекутся в точке $$K$$. Соединим $$A$$ с $$K$$. Тогда $$AK$$ — биссектриса угла $$A$$.

б) Построим медиану $$BM$$. Найдём середину стороны $$CA$$ и обозначим её через $$M$$. Тогда отрезок $$BM$$ — медиана треугольника $$ABC$$.

в) Построим высоту $$CH$$. Через точку $$C$$ проведём прямую, перпендикулярную прямой $$AB$$. Точку пересечения этой прямой с $$AB$$ обозначим через $$H$$. Тогда $$CH \perp AB$$, значит, $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Докажем, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

Пусть $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ — равнобедренные, причём $$AB=BC$$, $$A_1B_1=B_1C_1$$, $$AB=A_1B_1$$ и $$\angle B=\angle B_1$$.

Так как треугольники равнобедренные, то

$$AB=BC,$$

$$A_1B_1=B_1C_1.$$

Из условия $$AB=A_1B_1$$, значит,

$$AB=BC=A_1B_1=B_1C_1.$$

Следовательно, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны две стороны и угол между ними:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle B=\angle B_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.