Упр.158 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны прямая $$a$$ и точка $$M$$, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку $$M$$ и перпендикулярную к прямой $$a$$.
2. Основание равнобедренного треугольника равно $$8\ \text{см}$$. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на $$2\ \text{см}$$ больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Построим окружность с центром в точке $$M$$ произвольного радиуса. Она пересечёт прямую $$a$$ в точках $$A$$ и $$B$$.

Затем построим две окружности: с центром в точке $$A$$ радиуса $$AM$$ и с центром в точке $$B$$ радиуса $$BM$$. Эти окружности пересекутся в точках $$M$$ и $$N$$.

Проведём прямую $$MN$$.

Докажем, что $$MN \perp a$$. Треугольники $$AMN$$ и $$BMN$$ равны по трём сторонам:

$$AM=BM,\quad AN=BN,\quad MN=MN.$$

Следовательно, $$\angle AMN=\angle NMB$$. Значит, прямая $$MN$$ является биссектрисой угла $$AMB$$. Но в равнобедренном треугольнике $$AMB$$, у которого $$AM=BM$$, биссектриса, проведённая из вершины $$M$$ к основанию $$AB$$, является также высотой. Поэтому

$$MN \perp AB.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на прямой $$a$$, то $$AB$$ совпадает с прямой $$a$$. Значит,

$$MN \perp a.$$